Question

設△ABC的內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，且B=

π

3

．
（1）若△ABC的面積為

3 3

4

，b=

3

，求a，c的值；
（2）若△ABC不是鈍角三角形，求

2a

c

的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）△ABC中，由題意可得可得

1

2

ac•sinB=

3 3

4

，且b²=3=a²+c²-2ac•cosB，化簡可得ac=3，且a²+c²-ac=3，由此求得a、c的值．
（2）若△ABC不是鈍角三角形，則C∈（

π

6

，

π

2

），利用正弦定理可得

2a

c

=

2sin( 2π 3 -C)

sinC

=

3

•

1

tanC

+1，由此求得

2a

c

的取值范圍．

解答： 解：（1）△ABC中，由△ABC的面積為

3 3

4

，b=

3

，B=

π

3

，
可得

1

2

ac•sinB=

3 3

4

，且b²=3=a²+c²-2ac•cosB，
化簡可得ac=3，且a²+c²-ac=3，求得a=c=

3

．
（2）若△ABC不是鈍角三角形，則C∈（

π

6

，

π

2

），
∴tanC∈（

3

3

，+∞），

1

tanC

∈（0，

3

）．
∵B=

π

3

，故由正弦定理可得

2a

c

=

2sinA

sinC

=

2sin( 2π 3 -C)

sinC

=

3 cosC+sinC

sinC

=

3

•

1

tanC

+1∈（1，4），
即

2a

c

的取值范圍為（1，4）．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，正切函數的定義域和值域，屬于基礎題．