Question

【題目】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，并且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）利用，以及列方程組，解方程組求得，由此求得雙曲線的方程.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn).當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，消去得到，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)和判別式進(jìn)行分類討論，由此求得直線的方程.

（1）由已知可設(shè)雙曲線的方程為，

則，

解得，

所以雙曲線的方程為.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然不合題意

所以可設(shè)直線方程為，

聯(lián)立，得，

①當(dāng)，即或，方程只有一解，直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，直線方程為，

②當(dāng)，即，要使直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

則，解得，

此時(shí)，直線方程為，

綜上所述，直線的方程為或.