Question

已知斜率為2的直線被橢圓3x²+y²=1截的弦長為

4 5

7

，求直線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出直線方程，借助于韋達定理即可得到：兩交點AB之間的距離|AB|=

4 5

7

，從而可求得m的值．

解答： 解：設該直線方程為：y=2x+m，直線與橢圓相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=2x+m 3x2+y2=1

，可得7x²-4mx+m²-1=0
則x₁，x₂是方程7x²-4mx+m²-1=0的兩根，由韋達定理可得：x₁+x₂=

4m

7

，x₁•x₂=

m2-1

7

，
∴|AB|=

1+22

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

×

( 4m 7 )2-4× m2-1 7

=

4 5

7

；
解得：m=±1．
∴直線的方程為y=2x±1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系與弦長問題，難點在于弦長公式的靈活應用，屬于中檔題．