Question

以下四個關于圓錐曲線的結論中：
①雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點；
②已知拋物線y²=4x，過點P（4，0）的直線與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則y₁²+y₂²的最小值不存在；
③雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點為F₁，頂點為A₁、A₂，P是雙曲線上任意一點，則分別以線段PF₁、A₁A₂為直徑的兩圓的位置關系為內切或外切；
④橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦點分別為F₁，F₂，弦AB過F₁，若△ABF₂的內切圓周長為π，A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則|y₁-y₂|值為

5

3

；
其中結論正確的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據橢圓、雙曲線的定義和性質，結合圓的位置關系，韋達定理等知識點對題目中的四個結論逐一判斷，可得答案．

解答： 解：對于①雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點為（±

34

，0），橢圓

x2

35

+y²=1的焦點為（±

34

，0），故正確；
對于②已知拋物線y²=4x，過點P（4，0）的直線與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則當直線與x軸垂直時y₁²+y₂²的最小值為32，故錯誤；
對于③設以線段PF₁、A₁A₂為直徑的兩圓的半徑分別為r₁、r₂，若P在雙曲線坐支，如圖所示，
則|O₁O₂|=

1

2

|PF₂|=

1

2

（|PF₁|+2a）=

1

2

|PF₁|+a=r₁+r₂，即圓心距為半徑之和，兩圓外切．

若P在雙曲線右支，同理求得|O₁O₂|=r₁-r₂，故此時，兩圓相內切．故正確；
對于④橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦點分別為F₁，F₂，弦AB過F₁，若△ABF₂的周長為：20，由內切圓周長為π，可得內切圓半徑為：

1

2

，
故△ABF₂的面積為：5，即c|y₁-y₂|=3|y₁-y₂|=5，則|y₁-y₂|值為

5

3

；故正確；
故答案為：①③④

點評：本題考查圓與圓的位置關系及其判定，橢圓、雙曲線的定義和簡單性質的應用，考查數形結合思想方法，是中檔題．