Question

15．已知二次函數y=f（x）滿足：f（0）=0且f（x+1）=f（x）+2x+5．
求：（1）f（x）的表達式；
（2）求函數y=f（x）在[t，t+3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）設出二次函數，利用已知條件求解即可．
（2）求出二次函數的對稱軸，通過對稱軸是否在區間內，求解函數的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函數
∴設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（0）=0，∴c=0，
∵f（x+1）=f（x）+2x+5
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x+5，
∴2ax+a+b=2x+5，
∴a=1，b=4
∴f（x）=x²+4x．
（2）對稱軸x=-2，
?當t+3＜-2，即t＜-5時，f（x）在[t，t+3]上單調遞減，所以f（x）_min=f（t+3）=（t+3）²+4（t+3）=t²+10t+21，
?當t＞-2時，f（x）在[t，t+3]上單調遞增，所以f（x）_min=f（t）=t²+4t，
當t≤-2≤t+3即-5≤t≤-2時，所以，
f（x）_min=f（-2）=-4．
綜上的f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+10t+21，t＜-5}\\{-4，-5≤t≤-2}\\{{t}^{2}+4t，t＞-2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查抽象函數的應用，二次函數的最值的求法，函數的解析式的求法，考查計算能力．