Question

【題目】如圖在三棱錐P﹣ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求證：

（1）直線PA∥平面DEF；
（2）平面DEF⊥平面ABC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為D，E是PC，AC中點，

∴PA∥DE

∵DE平面DEF，PA平面DEF，

∴PA∥平面DEF

（2）證明：因為D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點，

∴PA=2DE，BC=2FE

∵PA=6，BC=8，DF=5

∴DE=3，EF=4，DF=5，

∴DE2+EF2=DF2∴DE⊥EF，

∵PD=AD，D為PC的中點

∴AD=DC

∵E為AC的中點，

∴DE⊥AC

∵AC∩EF=E，

∴DE⊥平面ABC，

∵DE平面DEF，

∴平面DEF⊥平面ABC．

【解析】（1）由D、E為PC、AC的中點，得出DE∥PA，從而得出PA∥平面DEF；（2）要證平面BDE⊥平面ABC，只需證DE⊥平面ABC，即證DE⊥EF，且DE⊥AC即可
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．