Question

7．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosθ}\\{y=1+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），直線l經過定點P（3，4），傾斜角為$\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）寫出直線l的參數方程和曲線C的標準方程．
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l經過定點P（3，4），傾斜角為$\frac{π}{6}$，能求出直線l的參數方程；曲線C的參數方程消去參數θ，能求出曲線C的標準方程．
（Ⅱ）把直線l的參數方程代入曲線C的標準方程，得：${t}^{2}+（3+\sqrt{3}）t-6=0$，由此能求出|PA|•|PB|的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l經過定點P（3，4），傾斜角為$\frac{π}{6}$，
∴直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=4+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
∵曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+4cosθ}\\{y=1+4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴曲線C消去參數θ，得曲線C的標準方程為：（x-2）²+（y-1）²=16．
（Ⅱ）把直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=4+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入曲線C的標準方程：（x-2）²+（y-1）²=16．
整理，得：${t}^{2}+（3+\sqrt{3}）t-6=0$，
設t₁，t₂是方程的兩個根，則t₁t₂=-6，
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=6．

點評 本題考查直線的參數方程、曲線的標準方程的求法，考查兩線段乘積的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．