Question

12．設數列{a_n}的前n項和為S_n．若S_n=2a_n-n，則$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{4}{a{{\;}_{2}a}_{3}}$+$\frac{8}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{16}{{a}_{4}{a}_{5}}$=$\frac{30}{31}$．

Answer 1

分析 S_n=2a_n-n，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n+1=2（a_n-1+1），n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁．利用等比數列的通項公式可得a_n=2ⁿ-1，于是$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-n，∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n-[2a_n-1-（n-1）]，∴a_n=2a_n-1+1，化為：a_n+1=2（a_n-1+1），
n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
∴數列{a_n+1}是等比數列，首項為2，公比為2．
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，
∴$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{4}{a{{\;}_{2}a}_{3}}$+$\frac{8}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{16}{{a}_{4}{a}_{5}}$=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{4}-1}-\frac{1}{{2}^{5}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{5}-1}$=$\frac{30}{31}$．
故答案為：$\frac{30}{31}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其性質、數列遞推關系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．