Question

如圖：將圓柱的側面沿母線AA₁展開，得到一個長為2π，寬AA₁為2的矩形．
（1）求此圓柱的體積；
（2）由點A拉一根細繩繞圓柱側面兩周到達A₁，求繩長的最小值（繩粗忽略不計）．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用將圓柱的側面沿母線AA₁展開，得到一個長為2π，寬AA₁為2的矩形，求出圓柱的底面半徑、高，再求出此圓柱的體積；
（2）設AA₁中點為B，側面展開圖矩形為ACC₁A₁，CC₁中點為B₁．則繩長的最小值即為側面展開圖中的AB₁+BC₁．

解答： 解：（1）設圓柱的底面半徑為r，高為h，則2πr=2π，h=2，
∴r=1，h=2，---------（2分）
∴V=πr²h=2π--------（5分）
（2）設AA₁中點為B，側面展開圖矩形為ACC₁A₁，CC₁中點為B₁．則繩長的最小值即為側面展開圖中的AB₁+BC₁．-------（7分）
AB₁=BC₁=

4π2+1

．-------（10分）
∴繩長的最小值為2

4π2+1

．-------（12分）

點評：本題考查棱柱的結構特征，空間想象能力，幾何體的展開與折疊，體現了轉化（空間問題轉化為平面問題，化曲為直）的思想方法．