Question

已知方程x³-

2

9

x²+6x-a=0有且只有一個實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：將問題轉化為f（x）=F（x）-a=0有且僅有一個實數根時，則表示直線y=a與F（x）僅有一個交點，通過求導得到F（x）的圖象，從而得到答案．

解答： 解：設F（x）=x³-

9

2

x²+6x，
∴F（x）'=3x²-9x+6=3（x²-3x+2）=3（x-1）（x-2），
令F（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令F（x）＜0，解得：1＜x＜2，
即F（x）在（-∞，1）為增函數，F（x）_極大=F（1）=

5

2

，
F（x）在（1，2）為減函數，F（x）_極小=F（2）=2，
F（x）在（2，+∞）為增函數，x→+∞，F（x）→+∞，
f（x）=F（x）-a=0有且僅有一個實數根時，則表示直線y=a與F（x）僅有一個交點，
畫出函數F（x）的圖象，如圖示：


∴當a＞

5

2

或a＜2時，F（x）-a=0有且僅有一個實數根．

點評：本題考查了根的存在性問題，考查了轉化思想，考查了函數的極值問題，是一道中檔題．