Question

【題目】如圖，平面平面，四邊形和都是邊長為2的正方形，點，分別是，的中點，二面角的大小為60°.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據三角形的中位線，有，再利用線面平行的判定定理證明.

（2）根據點，分別是，的中點，二面角的大小為60°，證明平面，然后以點為原點，，（是中點），所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標系，再求得平面的一個法向量，利用線面角的向量求法求解.

（1）證明：，分別是，的中點，

.

平面，平面，

平面.

（2）四邊形和都是邊長為2的正方形，

，，

就是二面角的平面角，

.

連接，在中，，，，

，

.

，.

，，，

平面，.

平面.

以點為原點，，（是中點），所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標系，

如圖所示：

則，，，，，

，，.

設平面的法向量為，

則，取.

設直線與平面所成角為，

則，

直線與平面所成角的正弦值為.