Question

9．雙曲線C的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且一個頂點是函數y=lnx在（1，0）處的切線與y軸交點，則雙曲線的標準方程為y²-x²=1．

Answer 1

分析 求出切線方程，求出雙曲線的頂點坐標，利用離心率轉化求解即可．

解答 解：函數y=lnx可得y′=$\frac{1}{x}$，在（1，0）處的切線的斜率為1，切線方程為：y=x-1，與y軸交點（0，-1），
雙曲線C的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為$\sqrt{2}$，
由題意一個頂點是函數y=lnx在（1，0）處的切線與y軸交點可得a=1，c=$\sqrt{2}$，則b=1，
所求的雙曲線方程為：y²-x²=1．
故答案為：y²-x²=1．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，函數的導數的應用，考查轉化思想以及計算能力．