Question

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)，長軸長為4，離心率為.

(Ⅰ)橢圓的求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)設過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角(O為坐標原點)，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ＋y2＝1(Ⅱ)k∈(－2，－ )∪(，2).

【解析】試題分析：（1）由題意可得，解得即可；
（2）直線的方程為，設．與橢圓方程聯(lián)立，由，解得 的取值范圍．可得根與系數(shù)的關(guān)系．若 為銳角，則，把根與系數(shù)的關(guān)系代入又得到的取值范圍，取其交集即可．

試題解析：(Ⅰ)依題意， ，解得，

故橢圓C的方程為＋y2＝1.

(Ⅱ)如圖，依題意，直線l的斜率必存在，

設直線l的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

聯(lián)立方程組，消去y整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，

由韋達定理，x1＋x2＝，x1x2＝，

∴y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，

因為直線l與橢圓C相交，則Δ>0，

即256k2－48(1＋4k2)>0，

解得k<－或k>，

當∠AOB為銳角時，向量，則x1x2＋y1y2>0，

即＋>0，解得－2<k<2，

故當∠AOB為銳角時，k∈(－2，－ )∪(，2).