Question

【題目】已知（為自然對數的底數）．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若有兩個零點，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）（1）；（2） 見解析.

【解析】試題分析：（I）求出函數的導數，通過討論的范圍，分別令求得 的范圍，可得函數增區間， 求得 的范圍，可得函數的減區間；（II）（1）由（Ⅰ）知，當時， 在R上為增函數， 不合題意；當時， 的遞增區間為，遞減區間為，只需，即可解得的取值范圍；（2）分離參數,問題轉化為證明證明,不妨設,記,則,因此只要證明： ，即根據函數的單調性證明即可.

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為R， ，（1）當時， 在R上恒成立，∴在R上為增函數； （2）當時，令得，令得，∴的遞增區間為，遞減區間為；

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，當時， 在R上為增函數， 不合題意；

當時， 的遞增區間為，遞減區間為，

又，當時， ，∴有兩個零點，則，解得；

（2）由（Ⅱ）（1），當時， 有兩個零點，且在上遞增， 在上遞減，依題意， ，不妨設．

要證，即證，

又，所以，

而在上遞減，即證，

又，即證，（ ）．

構造函數，

，∴在單調遞增，

∴，從而，

∴，（ ），命題成立．