Question

若數列的各項均為正數，，為常數，且.

（1）求的值；

（2）證明：數列為等差數列；

（3）若，對任意給定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k<p<r)使，，成等差數列？若存在，用k分別表示一組p和r；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）2（2）詳見解析（3）當k＝1時，不存在p，r；當k≥2時，存在一組p＝2k－1，r＝k(2k－1)滿足題意．

【解析】

試題分析：（1）令，得①，令，得②，①—②，得 ， ，（2）證明數列為等差數列，一般利用定義進行證明，由（1）推導過程知：， ，兩式相減得 數列為常數數列，，數列為等差數列（3）先求數列通項公式：由（2）知，數列為等差數列，設公差為，則由條件，得，又數列的各項為正數，，，

若存在p，r使，，成等差數列，則所以；當k＝1時，，舍去；當k≥2時，令p＝2k－1得r＝kp＝k(2k－1)，滿足k<p<r．

試題解析：【解析】
（1）由條件，設

令，得①，令，得 ②

①—②，得 ， ，

4分

（2）， ，

兩式相減得 7分

數列為常數數列，

， 數列為等差數列. 10分

（3）由（2）知，數列為等差數列，設公差為，

則由條件，得

，又數列的各項為正數，

，，. 12分

當k＝1時，若存在p，r使，，成等差數列，則

與矛盾．因此，當k＝1時，不存在． 14分

當k≥2時，則所以

令p＝2k－1得r＝kp＝k(2k－1)，滿足k<p<r．

綜上所述，當k＝1時，不存在p，r；

當k≥2時，存在一組p＝2k－1，r＝k(2k－1)滿足題意． 16分

考點：等差數列