Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為AB、B₁C的中點，試用向量法判斷MN與平面A₁BD的位置關系．

Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關系

專題：空間向量及應用

分析：建立空間直角坐標系，寫出

MN

的坐標以及平面的法向量，判斷兩個向量的關系，得到直線與平面的關系．

解答： 解：建系如圖

設正方體的棱長為2，M、N分別為AB、B₁C的中點，則

DB

=（2，2，0），

DA1

=（2，0，2），

MN

=（-1，1，1），
設平面A₁BD的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • DB =0 n • DA1 =0

，即

2x+2y=0 2x+2z=0

，設x=1，則

n

=（1，-1，-1），
所以

n

=-

MN

，
所以MN與平面A₁BD垂直．

點評：本題考查了利用空間向量解決線面關系的判斷；如果直線的方向向量與平面的法向量共線，那么直線與平面垂直．