Question

（文做）已知向量

m

=(1，1)，

k

=(1，0)，向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

，且

m

•

n

=-1，

n

與

k

不共線．
（1）求向量

n

；
（2）若△ABC中，有2B=A+C，且有向量

p

=(cosA，2cos2

C

2

)，求|

n

+

p

|的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應用

分析：（1）設

n

=(x，y)，根據已知條件即可得到關于x，y的方程組

x+y=-1 2 • x2+y2 cos 3π 4 =-1

，解出方程組得到

n

，并讓

n

與

k

不共線即可；
（2）先由已知條件可求得A+C=

2π

3

，0＜A＜

2π

3

，|

n

+

p

|=

cos2A+cos2C

，所以需求出cos²A+cos²C范圍，根據二倍角公式，C=

3π

3

-A，以及兩角和與差的正余弦公式即可得到cos2A+cos2C=1+

sin( π 6 -2A)

2

，而根據A的范圍可求出

π

6

-2A的范圍，根據正弦函數的圖象即可求出cos²A+cos²B的范圍，所以最后得到|

n

+

p

|的取值范圍．

解答： 解：（1）設

n

=(x，y)，則由已知條件可得：

x+y=-1 2 • x2+y2 cos 3π 4 =-1

；
∴得到

x+y=-1 x2+y2=1

，解得：

x=-1 y=0

，或

x=0 y=-1

；
∴

n

=(-1，0)或

n

=(0，-1)；
∵

n

與

k

不共線；
∴

n

=(0，-1)；
（2）由2B=A+C得B=

π

3

；
∴A+C=

2π

3

，0＜A＜

2π

3

；

n

+

p

=(cosA，cosC)；
∴|

n

+

p

|=

cos2A+cos2C

=

1+ cos2A+cos2C 2

=

1+ cos2A+cos( 4π 3 -2A) 2

=

1+ 1 2 [

sin(

π

6

-2A)]；
∵0＜A＜

2π

3

；
∴-

7π

6

＜

π

6

-2A＜

π

6

；
∴-1≤sin(

π

6

-2A)＜

1

2

；
∴

2

2

≤

1+ 1 2 [sin( π 6 -2A)]

＜

5

2

；
∴|

n

+

p

|的取值范圍為[

2

2

，

5

2

)．

點評：考查數量積的計算公式及坐標運算，共線向量基本定理，二倍角的余弦公式，兩角和與差的正余弦公式，以及正弦函數的最值，可利用正弦函數的圖象求解．