Question

已知函數f（x）在定義在R上的奇函數，若對于任意給定的不等實數x₁、x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，則不等式f（x）＜0的解集為（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，10）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：先將不等式轉化為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得到函數f（x）是定義在R上的減函數；再利用函數f（x）是定義在R上的奇函數得到函數f（x）過（0，0）點，即可求出不等式f（x）＜0的解集．

解答： 解：∵對于任意給定的不等實數x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，
即函數f（x）是定義在R上的減函數．
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，
∴函數f（x）過點（0，0）；
故不等式f（x）＜0，
解得x＞0．
故選：B．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的綜合應用問題．將不等式進行轉化判斷出函數f（x）的單調性以及利用奇函數的性質得到函數f（x）過（0，0）點是解決本題的關鍵．