Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD四邊形ABCD為正方形，AB=4，PA=3，A點在PD上的射影為G點．
（1）求證：AG⊥平面PDC；
（2）在棱AB上是否存在一點E，使得AG∥平面PEC．若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）先證明出CD⊥平面PAD，進而可推斷出CD⊥AG，然后利用AG⊥PD，根據線面垂直的判定定理證明出結論．
（2）先假設存在，過G作GM∥PC交CD于M，連AM，證明出平面AGM∥平面PEC，進而根據面面平行的性質證明出AM∥EC，進而證明出四邊形AECM為平行四邊形，推斷AE=CM，設AE=x，通過比例關系列方程式求得x．

解答： （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵AG⊆平面PAD，
∴CD⊥AG，
又AG⊥PD，PD∩CD=D，
∴AG⊥平面PDC．
（2）解：假設棱AB存在一點E，使AG∥平面PEC，
過G作GM∥PC交CD于M，連AM，則GM∥平面PEC，
∵AG∩GM=G，
∴平面AGM∥平面PEC，
它們都與平面ABCD相交，
∴AM∥EC，
∵AE∥CM，
∴四邊形AECM為平行四邊形，
∴AE=CM，
設AE=x，則CM=x，DM=4-x，
在Rt△PAD中，可求PG=

9

5

，GD=

16

5

，
∵GM∥PC，
∴

DM

CM

=

DG

PG

 即

4-x

x

=

16

9

，
∴x=

36

25

，
因此存在點E滿足題意，AE=

36

25

．

點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的運用．考查了學生空間觀察和分析的能力．