Question

若橢圓上存在一點P，使得點P到兩焦點的距離之比為，則此橢圓離心率的取值范圍是（   ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

分析：設橢圓上點P到兩焦點F₁、F₂距離比為1：2，則PF₁=r，PF₂=2r，可得2a=PF₁+PF₂=3r．再由橢圓上動點P滿足|PF₁-PF₂|≤2c，可得a≤6c，最后結合橢圓的離心率滿足0＜e＜1，得到該橢圓的離心率e的取值范圍．
解答：解：設橢圓的兩焦點分別為F₁、F₂，
∵點P到兩焦點F₁、F₂距離比為1：2，
∴設PF₁=r，則PF₂=2r，可得2a=PF₁+PF₂=3r，r=a
∵|PF₁-PF₂|=r≤2c，（當P點在F₂F₁延長線上時，取等號）
∴a≤2c，所以橢圓離心率e=≥
又∵橢圓的離心率滿足0＜e＜1，
∴該橢圓的離心率e∈[，1)
故答案為D