Question

3．已知實數x、y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{y≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$，則$\frac{y+1}{x+4}$的取值范圍為[$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，然后利用z的幾何意義是區域內任意一點（x，y）與點D（-4，-1）兩點直線的斜率，求解z的范圍．

解答 解：作出實數x、y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{y≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$對應的平面區域如圖．
因為z=$\frac{y+1}{x+4}$，
所以z的幾何意義是區域內任意一點（x，y）與點D（-4，-1）兩點直線的斜率．
所以由圖象可知當直線經過點B時，斜率為最小值，
經過點A時，直線斜率為最大值．
由題意知A（0，2），所以k_AD=$\frac{3}{4}$，k_DB=$\frac{0+1}{2+4}$=$\frac{1}{6}$，
所以則$\frac{y+1}{x+4}$的取值范圍為：[$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{4}$]．
故答案為：[$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{4}$]

點評 本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想，解答的關鍵是理解目標函數幾何意義，是中檔題．