Question

5．已知曲線C極坐標方程為2ρsinθ+ρcosρ=10曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$ （α為參數）．
（1 ）曲線C₁的普通方程；
（2）若點M在曲線C₁上運動，試求出M到曲線C的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x}{3}}\\{sinα=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，代入cos²α+sin²α=1可得曲線C₁的普通方程；
（2）曲線C的普通方程是：x+2y-10=0，設點M（3coxα，2sinα），由點到直線的距離公式得：$d=\frac{|3cosα+4sinα-10|}{\sqrt{5}}$，進而可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x}{3}}\\{sinα=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
代入cos²α+sin²α=1得：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）曲線C的普通方程是：x+2y-10=0，
設點M（3coxα，2sinα），由點到直線的距離公式得：
$d=\frac{|3cosα+4sinα-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$|5cos（α-φ）-10|$；\\;\\;\\;cosφ=\frac{3}{5}，sinφ=\frac{4}{5}$  其中sinφ=$\frac{4}{5}$，cosφ=$\frac{3}{5}$，
當α-φ=0時，d_min=$\sqrt{5}$，此時M點的坐標（$\frac{9}{5}，\frac{8}{5}$）．

點評 本題考查的知識點是橢圓的參數方程，直線的極坐標方程，直線與橢圓的位置關系，難度中檔．