Question

9．如圖，F₁、F₂是橢圓C₁與雙曲線C₂的公共焦點，A、B分別是C₁、C₂在第二、四象限的公共點，若AF₁⊥BF₁，且∠AF₁O=$\frac{π}{3}$，則C₁與C₂的離心率之和為（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 利用橢圓的對稱性，求出橢圓的離心率，然后求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：F₁、F₂是橢圓C₁與雙曲線C₂的公共焦點，A、B分別是C₁、C₂在第二、四象限的公共點，
若AF₁⊥BF₁，且∠AF₁O=$\frac{π}{3}$，可得：A（$-\frac{1}{2}c$，$\frac{\sqrt{3}}{2}c$），B（$\frac{1}{2}c$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}c$），
代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}=1$，可得$\frac{{e}^{2}}{4}$+$\frac{3}{\frac{4}{{e}^{2}}-4}=1$，
可得e⁴-8e²+4=0，解得e=$\sqrt{3}-1$．
代入雙曲線方程可得：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}=1$，
可得：$\frac{{e}^{2}}{4}-\frac{3}{4-\frac{4}{{e}^{2}}}=1$，
可得：e⁴-8e²+4=0，解得e=$\sqrt{3}+1$，
則C₁與C₂的離心率之和為：2$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質的應用，離心率的求法，注意橢圓以及雙曲線的對稱性的應用是解題的關鍵．