Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，橢圓上一點$P（1，\frac{3}{2}）$與橢圓右焦點的連線垂直于x軸．
（1）求橢圓C的方程；
（2）與拋物線y²=4x相切于第一象限的直線l，與橢圓C交于A，B兩點，與x軸交于點M，線段AB的垂直平分線與y軸交于點N，求直線MN斜率的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得c，把P的坐標代入橢圓方程，結合隱含條件求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）設切點坐標為$（\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}，{y}_{0}）$（y₀＞0），寫出直線l的方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求出AB的中點坐標，得到AB的垂直平分線方程，求出N的坐標，進一步得到MN的斜率，然后利用基本不等式求直線MN斜率的最小值．

解答 解：（1）∵點$P（1，\frac{3}{2}）$與橢圓右焦點的連線垂直于x軸，
∴c=1，將P點坐標代入橢圓方程可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，
又a²-b²=1，聯立可解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設切點坐標為$（\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}，{y}_{0}）$（y₀＞0），則l：$y-{y}_{0}=\frac{2}{{y}_{0}}（x-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}）$．
整理，得l：$y=\frac{2}{{y}_{0}}x+\frac{{y}_{0}}{2}$．
∴M（$-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}，0$），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{{y}_{0}}x+\frac{{y}_{0}}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得$（3+\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}）{x}^{2}+8x+{{y}_{0}}^{2}-12=0$，
△=$64-4（3+\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}）（{{y}_{0}}^{2}-12）$=$\frac{-12{{y}_{0}}^{4}+144{{y}_{0}}^{2}+768}{{{y}_{0}}^{2}}$＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8{{y}_{0}}^{2}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{{y}_{0}}^{4}-12{{y}_{0}}^{2}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}$．
∴AB的中點坐標為$（\frac{-4{{y}_{0}}^{2}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}，\frac{\frac{3}{2}{{y}_{0}}^{3}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}）$，
∴AB的垂直平分線方程為$y-\frac{\frac{3}{2}{{y}_{0}}^{3}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}=-\frac{{y}_{0}}{2}（x+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}）$，令x=0，得$y=\frac{-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{3}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}$，
即N$（0，\frac{-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{3}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}）$，∴${k}_{MN}=\frac{-2{y}_{0}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}$．
∵y₀＞0，∴${k}_{MN}=\frac{-2{y}_{0}}{3{{y}_{0}}^{2}+16}$=$\frac{-2}{3{y}_{0}+\frac{16}{{y}_{0}}}$$≥-\frac{\sqrt{3}}{12}$，當且僅當${y}_{0}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$時取得等號．
∴直線MN的斜率的最小值為$-\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，體現了整體運算思想方法，是中檔題．