Question

9．數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ，數列{b_n}滿足：b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）．（n∈N*）
（1）求數列{a_n}的通項a_n；    
（2）求數列{b_n}的通項b_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=S_n-S_n-1求出n≥2時的通項公式，已知首項后得答案；
（2）直接利用累加法求數列{b_n}的通項b_n．

解答 解：（1）∵S_n=2ⁿ，
∴S_n-1=2^n-1，（n≥2），
∴${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}-{2}^{n-1}={2}^{n-1}（n≥2）$，
當n=1時，a₁=S₁=2不適合上式，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由b_n+1=b_n+（2n-1），
得b₂=b₁+1，b₃=b₂+3，…，b_n=b_n-1+2n-3（n≥2），
累加得：b_n=b₁+[1+3+…+（2n-3）]=$-1+\frac{（1+2n-3）（n-1）}{2}={n}^{2}-2n$（n≥2）．
b₁=-1適合上式，
∴${b}_{n}={n}^{2}-2n$．

點評 本題考查數列遞推式，訓練了累加法求數列的通項公式，是中檔題．