Question

已知函數f（x）=

x2+x+4 x ，(x＞0) - x2-x+4 x ，(x＜0)

，
（1）求證：函數f（x）是偶函數；
（2）判斷函數f（x）分別在區間（0，2]、[2，+∞）上的單調性，并加以證明；
（3）若1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可證明函數f（x）是偶函數；
（2）根據函數單調性的定義即可判斷函數f（x）分別在區間（0，2]、[2，+∞）上的單調性，并加以證明；
（3）根據函數奇偶性和單調性之間的關系即可證明不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

解答： 解：（1）當x＞0時，-x＜0，
則f（x）=

x2+x+4

x

，f（-x）=-

x2+x+4

-x

=

x2+x+4

x

，
∴f（-x）=f（x），
  當x＜0時，-x＞0，
則f（x）=-

x2-x+4

x

，f（-x）=-

x2-x+4

x

，
∴f（-x）=f（x）
綜上所述，對于x≠0，都有f（-x）=f（x），
∴函數f（x）是偶函數．
（2）當x＞0時，f（x）=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，
設0＜x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=x₂+

4

x2

+1-x₁-

4

x1

-1=（x₂-x₁）•

x1x2-4

x1x2

，
∵2≤x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
當0＜x₁＜x₂≤2時，f（x₂）-f（x₁）＜0
∴函數f（x）在（0，2]上是減函數，函數f（x）在[2，+∞）上是增函數．
（3）由（2）知，當1≤x≤4時，5≤f（x）≤6，又由（1）知，
函數f（x）是偶函數，∴當1≤|x|≤4時，5≤f（x）≤6，
∴若1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4，則5≤f（x₁）≤6，5≤f（x₂）≤6，
∴-1≤f（x₁）-f（x₂）≤1，即|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關鍵．