Question

已知定義在實數集上的函數f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其導函數記為f_n^′（x），且滿足：為常數．
（I）試求λ的值；
（II）設函數f_2n-1（x）與f_n（1-x）的乘積為函數F（x），求F（x）的極大值與極小值；
（III）若g_n（x）=e^x•f_n（x），試證明關于x的方程在區間（0，2）上有唯一實數根；記此實數根為x（n），求x（n）的最大值．

Answer 1

解：（1）f′2（x）=2x，∴2[x1+（x2-x1）]=（x22-x12）/（x2-x1）
∴x2+x1=2x1+（x2-x1）?λ=2
（2）令y=F（X）=f′2n-1（x）•fn（1-x）=（1-x）n•x2n-1，則
①當n=1時，y=x-x2，y′=1-2x，令y′=o，得x=，x∈{-∞，}，y′＞0
x∈{，+∞}，y′＜0，所以，當x=時，y極大=，無極小值
②當n≥2時，y′=-n（1-x）^n_•x2n-1+（2n-1）x^（2n-2）．（1-x）^n=_x2n-1．（1-x）n[（2n-1）-（3n-1）x]
令y′=0則x₁=0，x₂=，x₃=1且x_1^＜x_2^＜x₃
①當n為正偶數時，隨x的變化，y′和y的變化如下：
分析：（1）利用求導公式求函數的導數，令n=2，代入等式求λ，
（2）利用導數公式求函數的導數，畫圖求函數的單調性，根據導數求極值，
（3）利用導數求導和利用數學歸納法，在當a=1時和當a≥2時的條件下證明
點評：該題考查函數的求導公式，和數學歸納法的使用，注意畫圖，有點難度