Question

3．隨著旅游業的發展，玉石工藝品的展覽與銷售逐漸成為旅游產業文化的重要一環．某    工藝品廠的日產量最多不超過15件，每日產品廢品率p與日產量x（件）之間近似地滿   足關系式$P=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{12-x}，1≤x≤9\\ \frac{{{x^2}+20}}{480}，10≤x≤15\end{array}\right.（{x∈{N^*}}）$，（日產品廢品率=$\frac{日廢品量}{日產量}×100%$）
已知每生產一件正品可贏利2千元，而生產一件廢品虧損1千元．
（1）將該廠日利潤y（千元）表示為日產量x（件）的函數；
（2）當該廠的日產量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）利用每日產品廢品率p與日產量x（件）之間近似地滿足關系式$P=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{12-x}，1≤x≤9\\ \frac{{{x^2}+20}}{480}，10≤x≤15\end{array}\right.（{x∈{N^*}}）$，即可將該廠日利潤y（千元）表示為日產量x（件）的函數；
（2）分段求出函數的最值，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意可知，當1≤x≤9時，$y=2x（1-p）-px=\frac{{18x-2{x^2}}}{12-x}$，…（2分）
當10≤x≤15時，$y=2x（1-p）-px=\frac{15x}{8}-\frac{x^2}{160}$，…（4分）
所以該廠日利潤$y=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{18x-2{x^2}}}{12-x}，1≤x≤9}\\{\frac{15x}{8}-\frac{x^3}{160}，10≤x≤15}\end{array}}\right.$．…（5分）
（2）當1≤x≤9時，令$y'=\frac{{2{x^2}-48x+216}}{{{{（12-x）}^2}}}=0$，解得x=6（x=18刪），…（6分）
當1≤x＜6時，y'＞0，函數單調遞增，
當6＜x≤9時，y'＜0，函數單調遞減，
而x=6時，y_max=6，…（8分）
當10≤x≤15時，令$y'=\frac{15}{8}-\frac{{3{x^2}}}{160}=0$，解得x=10，…（9分）
當10≤x≤15時，y'＜0，函數單調遞減，
所以當x=10時，${y_{max}}=\frac{25}{2}$，…（11分）
由于$\frac{25}{2}＞6$，所以當該廠的日產量為10件時，日利潤最大，為$\frac{25}{2}$千元．…（12分）

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查分段函數，考查導數知識的運用，確定函數的解析式是關鍵．