Question

如圖,直線y=x與拋物線y=x²-4交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于點Q.

(1)求點Q的坐標;

(2)當P為拋物線上位于線段AB下方(含點A、B)的動點時,求△OPQ面積的最大值.

Answer 1

解：(1)解方程組y=得或即A(-4,-2),B(8,4).

從而AB的中點為M(2,1).

由k_AB=,得直線AB的垂直平分線方程為y-1=(x-2).

令y=-5,得x=5.

∴Q(5,-5).

(2)直線OQ的方程為x+y=0,設P(x,x²-4).

∵點P到直線OQ的距離

d==|x²+8x-32|,|OQ|=5,

∴S_△OPQ=|OQ|d=|x²+8x-32|.

∵P為拋物線上位于線段AB下方的點,且P不在直線OQ上,

∴-4≤x＜4-4或4-4＜x≤8.

∵函數y=x²+8x-32在區間［-4,8］上單調遞增,

∴當x=8時,△OPQ的面積取到最大值×96=30.