Question

如圖, 直線y=x與拋物線y=x2－4交于A、B兩點, 線段AB的垂直平分線與直線y=－5交于Q點.

 (1) 求點Q的坐標；

(2) 當P為拋物線上位于線段AB下方

(含A、B) 的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值.

Answer 1

（文科學生做）

【解】(1) 解方程組	y=x	得	X1=－4,   x2=8
	y=x2－4		y1=－2,   y2=4

   即A(－4,－2),B(8,4), 從而AB的中點為M(2,1).--------------------------------3分

   由kAB==,直線AB的垂直平分線方程y－1=(x－2).

   令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)-----------6分

  (2) 直線OQ的方程為x+y=0, ---------------7分

設P(x, x2－4).

   ∵點P到直線OQ的距離d==,-----------------8分

   ,∴SΔOPQ==.-----------------------------9分

  ∵P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上,

  ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.----------------------------------------10分

  ∵函數y=x2+8x－32在區間[－4,8] 上單調遞增,----------------------11分

  ∴當x=8時, ΔOPQ的面積取到最大值30.-----------------------------------12分。