Question

如圖, 直線y=x與拋物線y=x²－4交于A、B兩點, 線段AB的垂直平分線與直線y=－5交于Q點.

（1）求點Q的坐標；

（2）當P為拋物線上位于線段AB下方

（含A、B）的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

 (1) Q(5,－5) （2）ΔOPQ的面積最大值為30

【解析】試題分析：（1） 解方程組 得 或

即A(－4,－2),B(8,4), 從而AB的中點為M(2,1).由k_AB=,直線AB的垂直平分線方程

y－1=-2 (x－2).  令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．

 (2) 直線OQ的方程為x+y=0, 設P(x, x²－4).∵點P到直線OQ的距離

d==,,∴S_ΔOPQ==.

  ∵P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.

  ∵函數y=x²+8x－32在區間[－4,8] 上單調遞增,  ∴當x=8時, ΔOPQ的面積取到最大值30．

考點：拋物線與直線的相交弦問題。

點評：本題（1）比較簡單，用一般解決相交弦問題的方法，聯立直線與拋物線方程求解即可。(2) 中要考慮到P為拋物線上位于線段AB下方的點，故得－4≤x<4－4或4－4<x≤8.轉化為求二次函數在閉區間上的最值問題來求。