Question

如圖,直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)y=x²-4交于A、B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)y=-5交于Q.

(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

(2)當(dāng)P為拋物線(xiàn)上位于線(xiàn)段AB下方(含A、B)的動(dòng)點(diǎn)時(shí),求△OPQ面積的最大值.

Answer 1

解:(1)由方程組得A(-4,-2),B(8,4),則AB的中點(diǎn)M(2,1).

于是AB的垂直平分線(xiàn)為y-1=-2(x-2).

令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5).

(2)直線(xiàn)OQ的方程為x+y=0,設(shè)P(x,x²-4),

∴點(diǎn)P到直線(xiàn)OQ的距離為

∵|OQ|=5,

∴S_△OPQ=|OQ|·d=|x²+8x-32|.

∵P為拋物線(xiàn)上位于線(xiàn)段AB下方的點(diǎn),

∴-4≤x≤4-4或4-4＜x≤8.

∵函數(shù)y=x²+8x-32在區(qū)間［-4,8］上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)x=8時(shí),△OPQ的面積取得最大值30.