Question

14．已知矩形ABCD中，AB=2BC，若橢圓的焦點是AD，BC的中點，且點A，B，C，D在橢圓上，則該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可知：設AB=4t，CB=2t，c=2t，則B（2t，t），丨BF₂丨=t，由勾股定理可知：丨BF₁丨=$\sqrt{（4t）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{17}$t，根據橢圓的定義可知丨BF₁丨+丨BF₂丨=2a，根據離心率公式，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設AD，BC的中點分別為F₁，F₂，由題意可知：矩形ABCD是以F₁，F₂為焦點的橢圓的內接矩形，
設AB=4t，CB=2t，c=2t，
則B（2t，t），
∴丨BF₂丨=t，丨BF₁丨=$\sqrt{（4t）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{17}$t，
由橢圓的定義可知：丨BF₁丨+丨BF₂丨=2a=（$\sqrt{17}$+1）t，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{4}{\sqrt{17}+1}$=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$，
該橢圓的離心率$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．

點評 本題考查橢圓的定義，考查橢圓離心率公式的求法，考查數形結合思想，屬于中檔題．