Question

已知x，y為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式x²-2x+4y²=0，求x•y的最大值．

Answer 1

分析：由于4y²=-x²+2x≥0，得出x的取值范圍，再將xy看成整體，表示成關(guān)于x的函數(shù)，對此函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而求得xy的最大值．

解答：解：∵4y²=-x²+2x≥0，
∴0≤x≤2．
∴x2•y2=-

1

4

x4+

1

2

x3．
令s=x²y²，則s=x2•y2=-

1

4

x4+

1

2

x3，（0≤x≤2）．
S′=-x3+

3

2

x2．由S′=0，得x=0，或x=

3

2

x∈(0，

3

2

)時(shí)，S′＞0； x∈(

3

2

，2)時(shí)，S′＜0．
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，S=

27

64

；
即當(dāng)x=

3

2

時(shí)，x•y的最大值為

3 3

8

．

點(diǎn)評：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值以及數(shù)學(xué)中的整體思想方法，屬于基礎(chǔ)題．