Question

1．已知數列{a_n}滿足${a_1}=2，{a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}（n∈N*）$，則該數列的前2017項的乘積a₁a₂a₃…a₂₀₁₇=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． -2

Answer 1

分析 利用遞推公式求出數列的前5項，得到數列{a_n}是以4為周期的周期數列，由此能求出該數列的前2017項的乘積a₁a₂a₃…a₂₀₁₇．

解答 解：∵數列{a_n}滿足${a_1}=2，{a_{n+1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}（n∈N*）$，
∴${a}_{2}=\frac{2-1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
${a}_{3}=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}$=-$\frac{1}{2}$，
${a}_{4}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{-\frac{1}{2}+1}$=-3，
${a}_{5}=\frac{-3-1}{-3+1}$=2．
∴數列{a_n}是以4為周期的周期數列，
∴該數列的前2017項的乘積a₁a₂a₃…a₂₀₁₇=（a₁a₂a₃a₄）⁵⁰⁴•（a₁a₂a₃）=[$2×\frac{1}{3}×（-\frac{1}{2}）×（-3）$]⁵⁰⁴×[2×$\frac{1}{3}×（-\frac{1}{2}）$]=-$\frac{1}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查數列的前2017項積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數列的遞推公式的合理運用．