Question

20．設a，b，c均為正數，且a+b+c=1．證明：
（1）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥9$；
（2）$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}≥\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$），運用三元均值不等式，即可得證；
（2）由$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$），運用三元均值不等式，即可得證．

解答 證明：（1）設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）≥3$\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$
=9，當且僅當a=b=c=$\frac{1}{3}$時，取得等號；
（2）2=（a+b）+（b+c）+（a+c），
則$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$=$\frac{1}{2}$[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$）
≥$\frac{1}{2}$•3$\root{3}{（a+b）（b+c）（c+a）}$•3$\root{3}{\frac{1}{（a+b）（b+c）（c+a）}}$=$\frac{9}{2}$．
當且僅當a=b=c=$\frac{1}{3}$時，取得等號．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用三元均值不等式的運用，以及滿足的條件：一正二定三等，考查推理能力，屬于中檔題．