Question

11．已知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）寫出f（x）的圖象是由正弦曲線y=sinx經過怎樣的變換得到的？
（3）若$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數的周期性和單調性，得出結論．
（2）y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，得出結論．
（3）由條件利用正弦函數的定義域和值域，求得f（x）的最大值與最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R，故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得它的增區間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）把曲線y=sinx向左平移$\frac{π}{6}$個單位，可得y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象的橫坐標變為原來的$\frac{1}{2}$倍，可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象向上平移$\frac{3}{2}$個單位，可得 f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$的圖象．
（3）若$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，則2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
故當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數取得最大值為$\frac{5}{2}$，
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時，函數取得最小值為$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$=2．

點評 本題主要正弦函數的周期性和單調性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．