Question

14．已知在橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1中，參數a，b都通過隨機程序在區間（0，t）上隨機選取，其中t＞0，則橢圓的離心率在（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）之內的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 不妨設a＞b，求出a，b滿足的條件，作出圖形，根據面積比得出答案．

解答 解：不妨設a＞b，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$＜1，
解得0＜$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$，即0＜$\frac{a}$＜$\frac{1}{2}$，
∴0＜b＜$\frac{1}{2}$a，
作出圖象如下：

∴橢圓的離心率在（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）之內的概率為P=$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OAB}}$=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的性質，幾何概型的概率計算，屬于中檔題．