Question

【題目】如圖，在三棱柱中，底面ABC，，，D，E分別是，的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）線段上是否存在點F，使平面？若存在，求的值：若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在點F，使平面，而過．

【解析】

（Ⅰ）建立空間直角坐標系，用向量證明垂直；

（Ⅱ）求出兩平面的法向量，由法向量夾角得二面角；

（Ⅲ）假設存在，設，即，由此求出，由與平面的法向量垂直可得．

（Ⅰ）由于底面ABC，，以為軸建立空間直角坐標系，

則，，

，，所以，，即；

（Ⅱ）由（Ⅰ），設平面的一個法向量為，

則，以，則，，

設平面一個法向量是，，

則，取，則，

，．

所以二面角的大小為；

（Ⅲ）假設存在點F，使平面，設，即，，又，所以，

由，得．

所以存在點F，使平面，而過．