Question

【題目】（本小題滿(mǎn)分14分）一種畫(huà)橢圓的工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫(huà)出的橢圓記為C．以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與兩定直線(xiàn)和分別交于兩點(diǎn)．若直線(xiàn)總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，的面積取得最小值8．

【解析】

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，當(dāng)在x軸上時(shí)，等號(hào)成立；同理，當(dāng)重合，即軸時(shí)，等號(hào)成立． 所以橢圓C的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，其方程為

（Ⅱ）（1）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)為或，都有．

（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)， 由消去，可得．因?yàn)橹本�(xiàn)總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即． ①

又由可得；同理可得．由原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為和，可得

． ②

將①代入②得，． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8．

綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線(xiàn)與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，的面積取得最小值8．