Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）求函數的單調區間；

（3）若函數在區間內有且只有一個極值點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據導數的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式方程可得答案；（Ⅱ）對m進行討論，解可得函數的增區間，解得函數的減區間；（III）由題意可知g′（x）=0在（1，2）上有解，討論m的范圍，判斷g′（x）的單調性和零點個數，得出結論．

（Ⅰ）當時，，

所以，．

又，

所以曲線在處的切線方程為

（Ⅱ）函數的定義域為．

，

（1）當即時，

因為，，

所以的單調增區間為，無單調減區間.

（2）當，即時，令，得．

當時，；

當時，；

所以的單調增區間為，減區間為．

綜上，當時，的單調增區間為，無單調減區間；

當時，的單調增區間為，減區間為．

（Ⅲ）因為，

所以.

令.

若函數在區間內有且只有一個極值點,

則函數在區間內存在零點.

又，

所以在內有唯一零點.

且時，

時，

則在內為減函數，在內為增函數.

又因為且在內存在零點,

所以

解得.

顯然在內有唯一零點，記為.

當時，時，，所以在點兩側異號，即在點兩側異號，為函數在區間內唯一極值點.

當時，

又在內成立,

所以在內單調遞增，故無極值點.

當時，易得時,故無極值點.

所以當且僅當時，函數在區間內有且只有一個極值點.