【題目】已知橢圓
兩焦點
，并經過點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
為橢圓上關于
軸對稱的不同兩點，
為軸上兩點，且
，證明：直線
的交點
仍在橢圓上；
（3）你能否將（2）推廣到一般橢圓中？寫出你的結論即可.
【答案】（1）
；（2）證明見解析；（3）若橢圓
，若
，則直線
的交點
仍在橢圓
上；
【解析】
（1）已知焦點
，利用橢圓的定義，求得橢圓的長軸長，再求得
，寫出方程即可.
（2）設
，得到直線
的方程為
，直線
的方程為
，設設交點
，分別代入直線， 的方程得
，
，兩式化簡得到
，說明交點在橢圓上.
（3）根據（2）的論證過程，推知規律是.
根據題意，橢圓的長軸長：
，
解得
，
又
，
所以橢圓的方程是.
（2）設 ，
則直線 的方程為①，
直線 的方程為 ②
設交點 ，代入①②得
③ ，
④，
③與④兩邊分別相乘得
，
又因為
，
，
所以，
所以直線的交點的坐標適合橢圓的方程，
所以直線的交點仍在橢圓上.
（3）若橢圓，若，則直線的交點仍在橢圓上；
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【題目】某工廠每年定期對職工進行培訓以提高工人的生產能力（生產能力是指一天加工的零件數）．現有
、
兩類培訓，為了比較哪類培訓更有利于提高工人的生產能力，工廠決定從同一車間隨機抽取100名工人平均分成兩個小組分別參加這兩類培訓．培訓后測試各組工人的生產能力得到如下頻率分布直方圖．
（1）記
表示事件“參加類培訓工人的生產能力不低于130件”，估計事件的概率；
（2）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有
的把握認為工人的生產能力與培訓類有關：
生產能力 | 生產能力 | 總計 | |
| 50 | ||
| 50 | ||
總計 | 100 |
（3）根據頻率分布直方圖，判斷哪類培訓更有利于提高工人的生產能力，請說明理由．
參考數據
| 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
參考公式：
，其中
.
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【題目】某課題小組共10人，已知該小組外出參加交流活動次數為1，2，3的人數分別為3，3， 4，現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．
（1）記“選出2人外出參加交流活動次數之和為4”為事件A，求事件A發生的概率；
（2）設X為選出2人參加交流活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第
代“勾股樹”所有正方形的個數與面積的和分別為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程選講
在平面直角坐標系中，以原點為極點，以
軸非負半軸為極軸建立極坐標系， 已知曲線
的極坐標方程為
，直線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）寫出曲線和直線的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線
過點
與曲線交于不同兩點
，
的中點為
，與的交點為
，求
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
底面ABC，
，
，D，E分別是
，
的中點．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）線段
上是否存在點F，使
平面
？若存在，求
的值：若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據統計，某蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量
（百千克）與某種液體肥料每畝使用量
（千克）之間的對應數據的散點圖，如圖所示.
（1）依據數據的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請計算相關系數
并加以說明（若
，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）；
（2）求關于的回歸方程，并預測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產量的增加量約為多少？
附：相關系數公式
，參考數據：
，
.
回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
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