Question

【題目】已知函數，曲線在點的切線方程為.

（1）求實數的值，并求的極值.

（2）是否存在，使得對任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），，無極小值.（2）存在，3

【解析】

（1）由求導公式求出導數，再由切線的方程得，列出方程求出的值，代入函數解析式和導數，分別求出、對應的的范圍，即求出函數的單調區間；

（2）先將分離出，構造函數，再求出此函數的導數并化簡，再構造函數并二次求導，通過特殊函數值的符號，確定函數零點所在的區間，列出表格判斷出的單調性，從而求出的最大值，再由自變量的范圍確定出的最大值的范圍，從而求出滿足條件的的最小值．

（1）依題意，，所以，

又由切線方程可得，即，解得，所以，

所以，令，解得，

當時，，的的變化情況如下：

	+	0	-
		極大值

所以，無極小值.

（2）若對任意恒成立，則，

記，只需.又，

記，則，所以在上單調遞減.

又，，

所以存在唯一，使得，即，

當時，，，的變化情況如下：

	+	0	-
	+	0	-
		極大值

所以，又因為，

所以，

所以，

因為，所以，所以，又，

所以，因為，即，且，

故的最小整數值為3.

所以存在最小整數，使得對任意恒成立.