Question

2．已知在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），直線l經過定點P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{6}$．
（Ⅰ） 寫出直線l的參數方程和曲線C的標準方程；
（Ⅱ） 設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系消去參數θ可得曲線C的標準方程，直線l經過定點P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{6}$，即可得出直線l的參數方程；
（Ⅱ）將直線l的參數方程代入圓的方程，整理可得${t^2}+（3+2\sqrt{3}）t-3=0$，進一步得|PA|•|PB|=|t₁•t₂|．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系消去參數θ，
可得曲線C的標準方程為：（x-1）²+（y-2）²=16，
直線l經過定點P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{6}$，可得：
直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=5+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）；
（Ⅱ）將直線l的參數方程代入圓的方程可得${t^2}+（3+2\sqrt{3}）t-3=0$，
設t₁，t₂是方程的兩個根，則t₁t₂=-3，
∴|PA||PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=3．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、直線參數方程的應用、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．