Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²，e=2.71828…，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e-2）x+b．
（1）求a，b的值；
（2）設x≥0，求證：f（x）＞x²+4x-14．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，得切線方程，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e-2）x+b，即可求a，b的值；
（2）由（1）可得f（x）=e^x-x²，證明f（x）＞x²+4x-14，只要證明e^x-2x²-4x+14＞0，構造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結論．

解答 解：（1）函數(shù)的導數(shù)f′（x）=e^x-2ax，f′（1）=e-2a，f（1）=e-a，
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-（e-a）=（e-2a）（x-1），
由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e-2）x+b
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e-2）x+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{e-2a=e-2}\\{e-2+b=e-a}\end{array}\right.$，
∴a=b=1；
（2）證明：由（1）可得f（x）=e^x-x²，要證f（x）＞x²+4x-14，
只要證明e^x-2x²-4x+14＞0．
設g（x）=e^x-2x²-4x+14，g′（x）=e^x-4x-4，
設h（x）=e^x-4x-4，則h′（x）=e^x-4，
∴h（x）在（0，2ln2）上單調(diào)遞減，（2ln2，+∞）上單調(diào)遞增，
設曲線y=h（x）與x軸的交點為（m，0）
∵h（0）=-3＜0，h（2）=e²-12＜0，h（3）=e³-16＞0，
∴2＜m＜3，e^m=4m+4，
∵x∈（0，m），g′（x）＜0，x∈（m，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）≥g（m）=18-2m²，
∵2＜m＜3，∴g（x）≥2（9-m²）＞0，即f（x）＞x²+4x-14．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查構造法的運用，屬于中檔題．