Question

20．已知橢圓C的焦點與雙曲線$\frac{y^2}{3}$-x²=1的頂點重合，橢圓C的長軸長為4．
（1）求雙曲線的實軸，虛軸長及漸近線方程．
（2）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）若已知直線y=x+m．當(dāng)m為何值時，直線與橢圓C有公共點？

Answer 1

分析 （1）由雙曲線$\frac{y^2}{3}$-x²=1，能求出雙曲線的實軸，虛軸長及漸近線方程．
（2）求出橢圓C的焦點坐標(biāo)為F₁（0，-$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{3}$），a′=2，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（3）把直線y=x+m代入橢圓方程${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得到5x²+2mx+m²-4=0，由直線與橢圓有C公共點，利用根的判別式能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵雙曲線$\frac{y^2}{3}$-x²=1，
∴$a=\sqrt{3}$，b=1，c=2，
∴雙曲線的實軸長2a=2$\sqrt{3}$，虛軸長2b=2，
由$\frac{y^2}{3}$-x²=0，得雙曲線的漸近線方程為y=$±\sqrt{3}x$．
（2）∵橢圓C的焦點與雙曲線$\frac{y^2}{3}$-x²=1的頂點重合，橢圓C的長軸長為4，
∴橢圓C的焦點坐標(biāo)為F₁（0，-$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{3}$），a′=2，
∴b′=$\sqrt{4-3}$=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（3）把直線y=x+m代入橢圓方程${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
得4x²+（x+m）²=4，即5x²+2mx+m²-4=0，
∵直線與橢圓有C公共點，
∴△=（2m）²-4×5×（m²-4）=-16m²+80≥0，
解得$-\sqrt{5}≤m≤\sqrt{5}$．
∴-$\sqrt{5}≤m≤\sqrt{5}$時，直線與橢圓有C公共點．

點評 本題考查雙曲線的實軸，虛軸長及漸近線方程、橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程的求出，考查滿足直線與橢圓公共點的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓、雙曲線的性質(zhì)的合理運用．