Question

9．已知A（4，-3），B（2，-1）和直線l：4x+3y-2=0．
（1）求在直角坐標平面內滿足|PA|=|PB|的點P的方程；
（2）求在直角坐標平面內一點P滿足|PA|=|PB|且點P到直線l的距離為2的坐標．

Answer 1

分析 （1）A（4，-3），B（2，-1），可得線段AB的中點M的坐標為（3，-2），又k_AB=-1，即可得出線段AB的垂直平分線方程．
（2）設點P的坐標為（a，b），由于點P（a，b）在上述直線上，可得a-b-5=0．又點P（a，b）到直線l：4x+3y-2=0的距離為2，可得$\frac{|4a+3b-2|}{5}$=2，聯立解出即可得出．

解答 解：（1）∵A（4，-3），B（2，-1），
∴線段AB的中點M的坐標為（3，-2），又k_AB=-1，
∴線段AB的垂直平分線方程為y+2=x-3，
即點P的方程x-y-5=0．…（5分）
（2）設點P的坐標為（a，b），
∵點P（a，b）在上述直線上，∴a-b-5=0．①
又點P（a，b）到直線l：4x+3y-2=0的距離為2，
∴$\frac{|4a+3b-2|}{5}$=2，即4a+3b-2=±10，②…（8分）
聯立①②可得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{27}{7}}\\{b=-\frac{8}{7}}\end{array}\right.$
∴所求點P的坐標為（1，-4）或$（\frac{27}{7}，-\frac{8}{7}）$．…（12分）

點評 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、垂直平分線的性質、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．