Question

17．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，函數g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R），若函數g（x）有三個零點，則實數t的取值范圍為（-∞，2]．

Answer 1

分析 做出f（x）的圖象，判斷f（x）=m的根的情況，根據g（x）=0的零點個數判斷m²+m+t=0的根的分布，利用二次函數的性質列出不等式組解出t的范圍．

解答 解：做出f（x）的函數圖象如圖所示：

令f（x）=m，g（x）=0，則m²+m+t=0，
由圖象可知當m≥1時，f（x）=m有兩解，當m＜1時，f（x）=m只有一解，
∵g（x）有三個零點，
∴m²+m+t=0在（-∞，1）和[1，+∞）上各有一解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-4t＞0}\\{1+1+t≤0}\end{array}\right.$，解得t≤-2．
故答案為（-∞，2]．

點評 本題考查了函數零點的個數判斷，基本初等函數的性質，屬于中檔題．