Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M為PC的中點．
（1）求異面直線AP，BM所成角的余弦值；
（2）點N在線段AD上，且AN=λ，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{4}{5}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出$\overrightarrow{BM}=（-1，1，2）$，$\overrightarrow{AP}=（0，0，4）$，利用向量的夾角公式，即可求異面直線AP，BM所成角的余弦值；
（2）求出平面PBC的一個法向量，利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{4}{5}$，求λ的值．

解答 解：（1）因為PA⊥平面ABCD，且AB，AD?平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因為∠BAD=90°，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直．
分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），
P（0，0，4），
又因為M為PC的中點，所以M（1，1，2）．
所以$\overrightarrow{BM}=（-1，1，2）$，$\overrightarrow{AP}=（0，0，4）$，…（2分）
所以$cos?\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BM}＞=\frac{{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BM}}}{{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BM}|}}$=$\frac{0×（-1）+0×1+4×2}{{4×\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（5分）
（2）因為AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），則$\overrightarrow{MN}=（-1，λ-1，-2）$，$\overrightarrow{BC}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{PB}=（2，0，-4）$，
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}2y=0\\ 2x-4z=0.\end{array}\right.$令x=2，解得y=0，z=1，
所以$\overrightarrow{m}$=（2，0，1）是平面PBC的一個法向量．…（7分）
因為直線MN與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{4}{5}$，
所以$|cos?\overrightarrow{MN}，m＞|=\frac{{|\overrightarrow{MN}•m|}}{{|\overrightarrow{MN}||m|}}=\frac{{|{-2-2}|}}{{\sqrt{5+{{（λ-1）}^2}}•\sqrt{5}}}=\frac{4}{5}$，
解得λ=1∈[0，4]，
所以λ的值為1．…（10分）

點評 本題考查空間角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．