Question

如圖，在四棱錐中， ，， ，，分別為的中點.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析 ；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明直線和直線與直線垂直，可以轉化為證明直線和平面垂直，本題可以取線段中點，連接，易證明直線面，從而，或者可以建立空間直角坐標系，用坐標表示相關點，通過證明兩條直線的方向向量垂直即可；（2）求直線和平面所成的角，通過建立空間直角坐標系，求平面的法向量和直線方向向量所成角的余弦值，即所求角的正弦值．

試題解析：（1）易知AB，AD，A P兩兩垂直．如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．設，則相關各點的坐標為：，，，，，. 2分

從而，＝，＝．

因為，所以·＝.

解得或（舍去）． 4分

于是＝（，1，－1），＝（，1，0）．

因為·＝－1＋1＋0＝0，所以⊥，即． 6分

（2）由（1）知，＝（，1，-2），＝（0，2，-2）．

設是平面PCD的一個法向量，則

即

令，則＝（1，，）． 9分

設直線EF與平面PCD所成角為，則

＝|〈，〉|＝||＝.

即直線EF與平面PCD所成角的正弦值為. 12分

考點：1、直線與直線垂直；2、直線和平面所成的角.